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在直角坐标系中,y=x2+ax+2a与x轴交于A,B两点,点E(2,0)绕点O顺时针旋转90°后的对应点C在此抛物线上,点P(4,2).
(1)求抛物线解析式;
(2)如图1,点F是线段AC上一动点,作矩形FC1B1A1,使C1在CB上,B1,A1在AB上,设线段A1F的长为a,求矩形FC1B1A1的面积S与a的函数关系式,并求S的最大值;
(3)如图2,在(1)的抛物线上是否存在两个点M,N,使以O,M,N,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
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分析:(1)由于点E(2,0)绕点O顺时针旋转90°后得到点C,那么C(0,-2),将它的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出a的值,从而确定该抛物线的解析式.
(2)根据(1)所得抛物线的解析式,即可求出A、B的坐标,在△ABC中,易求得AB、OC的长,而△CC1F∽△CBA,根据得到的比例线段,即可求得FC1的表达式,从而根据矩形的面积公式求出S、a的函数关系式.
(3)此题应分作两种情况考虑:
①以OP为平行四边形的边,那么MN平行且相等于OP,可设出点M的坐标,根据O、P的坐标可知M、N的横坐标的差为4,纵坐标的差为2,可据此表示出点N的坐标,然后代入抛物线的解析式中,即可求得M、N的坐标;
②以OP为平行四边形的对角线,首先求出OP中点(即平行四边形对角线的交点)的坐标,设出点M坐标后,仿照①的方法表示出点N的坐标,再代入抛物线的解析式中求得M、N的坐标即可.
解答:解:(1)∵点E(2,0)绕点O顺时针旋转90°后对应点是点C,
∴C(0,-2);
代入抛物线的解析式中,得:
2a=-2,
即a=-1;
∴该抛物线的解析式为:y=x2-x-2.

(2)易知:A(-1,0),B(2,0),C(0,-2);
则AB=3,OC=2.
∵四边形A1B1C1F是矩形,则FC1∥AB,
∴△CC1F∽△CBA,
得:
2-a
2
=
FC1
3

故FC1=
3
2
(2-a);
∴S=A1F•FC1=a×
3
2
(2-a)=-
3
2
(a2-2a);
即:S=-
3
2
(a-1)2+
3
2

即当a=1时,S最大=
3
2


(3)假设存在符合条件的M、N点,则:
①以OP为平行四边形的边长;
设M(a,a2-a-2),则N(a-4,a2-a-4);
由于N点在抛物线的图象上,
(a-4)2-(a-4)-2=a2-a-4,
解得a=
11
4

故M(
11
4
45
16
),N(-
5
4
13
16
);
②以OP为平行四边形对角线:先求出OP中点坐标为(2,1),
设M(a,a2-a-2),则N(4-a,-a2+a+4);
将N点坐标代入抛物线解析式,
得:(4-a)2-(4-a)-2=-a2+a+4,
解得a=3或1,
则M,N的坐标分别为(3,4),(1,-2)或(1,-2),(3,4);
因此存在符合条件的M、N点,它们的坐标为:
M(
11
4
45
16
),N(-
5
4
13
16
)或M(-
5
4
13
16
),N(
11
4
45
16
)或M(3,4),N(1,-2)或M(1,-2),N(3,4).
点评:此题考查了图形的旋转变换、二次函数解析式的确定、图形面积的求法以及平行四边形的判定等重要知识点,在(3)题中,由于OP是平行四边形的边还是对角线并不确定,因此一定要分类讨论,以免漏解.
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