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19.对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b),若点P′的坐标为($a+\frac{b}{k}$,ka+b)(其中k为常数,且k≠0),则称点P′为点P的“k属派生点”.
(1)①点P(-2,1)的“2属派生点”P′的坐标为(-$\frac{3}{2}$,-3);
②若点P的“k属派生点”P′的坐标为(4,2),请写出一个符合条件的点P的坐标(2,1);
(2)若点P在x轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为点P′,且△OPP′为等腰直角三角形,则k的值为±1.

分析 (1)①只需把a=-2,b=1,k=2代入(a+$\frac{b}{k}$,ka+b)即可求出P′的坐标.
②由P′(4,2)可求出k=$\frac{1}{2}$,从而有a+2b=4.任取一个a就可求出对应的b,从而得到符合条件的点P的一个坐标.
(2)设点P坐标为(a,0),从而有P′(a,ka),显然PP′⊥OP,由条件可得OP=PP′,从而求出k.

解答 解:(1)①点P(-2,1)的“2属派生点”P′的坐标为(-2+$\frac{1}{2}$,-2×2+1),即(-$\frac{3}{2}$,-3),
故答案为:(-$\frac{3}{2}$,-3);
②由题意,得:$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{b}{k}=4}\\{ka+b=2}\end{array}\right.$,
解得:k=$\frac{1}{2}$,
∴a+2b=4,
当b=1时,a=2,此时点P的坐标为(2,1),
故答案为:(2,1);

(2)∵点P在x轴的正半轴上,
∴b=0,a>0.
∴点P的坐标为(a,0),点P′的坐标为(a,ka).
∴PP′⊥OP.
∵△OPP′为等腰直角三角形,
∴OP=PP′.
∴a=±ka.
∵a>0,
∴k=±1.
故答案为:±1.

点评 此题考查了坐标与图形的性质、等腰直角三角形,弄清题中的新定义及等腰直角三角形的定义是解本题的关键.

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