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如图,BE是⊙O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连接OD,∠AOD=∠APC.
(1)求证:AP是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径是4,AP=4
3
,求图中阴影部分的面积.
考点:切线的判定,扇形面积的计算
专题:计算题
分析:(1)连接OP,如图,利用等腰三角形的性质由OD=OP得到∠OPD=∠ODP,而∠APC=∠AOD,则∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD,由于∠ODP+∠AOD=90°,易得∠APO=90°,于是根据切线的判定定理即可得到AP是⊙O的切线;
(2)在Rt△APO中,利用勾股定理计算出,AO=8,即PO=
1
2
AO
,则∠A=30°,可计算出∠POA=60°,∠OPC=30°,再利用垂径定理PC=CD,且∠POD=120°,OC=
1
2
PO=2,接着在Rt△OPC中计算出PC=2
3
,得到PD=2PC=4
3
,然后根据扇形面积公式和S阴影=S扇形OPBD-S△OPD进行计算即可.
解答:(1)证明:连接OP,如图,
∵OD=OP,
∴∠OPD=∠ODP,
∵∠APC=∠AOD,
∴∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD,
又∵PD⊥BE,
∴∠ODP+∠AOD=90°,
∴∠OPD+∠APC=90°,
即∠APO=90°,
∴OP⊥AP,
∴AP是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△APO中,
∵AP=4
3
,PO=4,
∴AO=
AP2+PO2
=8
,即PO=
1
2
AO

∴∠A=30°,
∴∠POA=60°,
∴∠OPC=30°
又∵PD⊥BE,
∴PC=CD,
∴∠POD=120°,OC=
1
2
PO=2,
在Rt△OPC中,∵OC=2,OP=4,
∴PC=
OP2-OC2
=2
3

∴PD=2PC=4
3

∴S阴影=S扇形OPBD-S△OPD
=
120
360
•π•42-
1
2
×4
3
×2

=
16
3
π-4
3
点评:本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线.也考查了垂径定理和扇形的面积公式.
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分解因式:
m2
9
+n2-
2
3
mn.

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2
9
,求线段CP的长度.
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类别频数
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C.排球n
D.篮球15
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(1)填空:m=
 
,n=
 

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(3)在这次调查中随机抽中一名最喜爱足球的学生的概率是多少?

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在2,-2,0,-
1
2
四个数中,最小的数是(  )
A、2
B、-2
C、0
D、-
1
2

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如图,a∥b,∠ABC=50°,若△ABC是等腰三角形,则∠α=
 
°(填一个即可)

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A、20B、30C、70D、80

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