已知:关于x的方程x2+(8-4m)x+4m2=0.
(1)若方程有两个相等的实数根,求m的值,并求出这时方程的根.
(2)问:是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于136?若存在,请求出满足条件的m值;若不存在,请说明理由.
【答案】
分析:(1)根据一元二次方程的根的判别式△=0,建立关于m的等式,由此求出m的取值.再化简方程,进而求出方程相等的两根;
(2)利用根与系数的关系,化简x
12+x
22=136,即(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=136.根据根与系数的关系即可得到关于m的方程,解得m的值,再判断m是否符合满足方程根的判别式.
解答:解:(1)若方程有两个相等的实数根,
则有△=b
2-4ac=(8-4m)
2-16m
2=64-64m=0,
解得m=1,
当m=1时,原方程为x
2+4x+4=0,
∴x
1=x
2=-2;
(2)不存在.
假设存在,则有x
12+x
22=136.
∵x
1+x
2=4m-8,
x
1x
2=4m
2,
∴(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=136.
即(4m-8)
2-2×4m
2=136,
∴m
2-8m-9=0,
(m-9)(m+1)=0,
∴m
1=9,m
2=-1.
∵△=(8-4m)
2-16m
2=64-64m≥0,
∴0<m≤1,
∴m
1=9,m
2=-1都不符合题意,
∴不存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于136.
点评:总结:1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0?方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0?方程有两个相等的实数根;
(3)△<0?方程没有实数根.
2、根与系数的关系为:x
1+x
2=
x
1x
2=
.