Question

17．已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-4，0），B（1，0），与y轴正半轴交于点C，tan∠CAB=$\frac{1}{2}$．
（1）求抛物线的解析式并验证点Q（-1，3）是否在抛物线上；
（2）点M是线段AC上一动点（不与A，C重合），过点M作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于点N，试判断当MN为最大值时，以MN为直径的圆与y轴的位置关系并说明理由；
（3）已知过点B的直线y=x-1交抛物线于另一点E，问：在x轴上是否存在点P，使以点P，A，Q为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）依据锐角三角函数的定义可求得OC=2，从而得到点C（0，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-1），将点C的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，然后依据点Q的坐标是否符合抛物线的解析式可知点Q是否在抛物线上；
（2）先求得直线AC的解析式，设点M的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+2），则点N（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），然后列出MN的长度与m的函数的关系式，利用配方法可求得MN的最大值以及此时m的值，然后依据d和r的关系可判定出以MN为直径的圆与y轴的位置关系；
（3）过点E作ED⊥x轴，垂足为D，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F．先求得点E的坐标，然后可证明△DBE和△AQF均为等腰直角三角形，故此在△BAE和△AQP中，∠QAP=∠ABE，然后依据两点间的距离公式求得EB、AQ，AB的长，然后分为△QAP′∽△ABE、△AQP∽△BEA两种情况求解即可．

解答 解：（1）在Rt△AOC中，∠COA=90°，AO=4，tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，
∴OC=2．
∴C（0，2）．
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-1），将点C的坐标代入得：-4a=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$×（x²+3x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．
当x=1时，y=-$\frac{1}{2}$×（-1）²-$\frac{3}{2}$×（-1）+2=3．
∴点Q（-1，3）在抛物线上．

（2）如图1所示：

设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=2．
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2．
设点M的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+2），则点N（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）．
∴MN=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2．
∴当m=-2时，MN的最大值为2．
∴以MN为直径的圆的半径为1．
又∵以MN为直径的圆的圆心到y轴的距离为2，
∴以MN为直径的圆与y轴相离．

（3）如图3所示：过点E作ED⊥x轴，垂足为D，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F．

将y=x-1与y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2联立，解得：x=-6，y=-7或x=1，y=0，
∴点E的坐标为（-6，-7）．
∴BD=ED=7．
又∵∠EDB=90°
∴∠EBD=45°．
同理∠QAF=45°．
∴∠EBD=∠QAF=45°．
∴∠QAD=135°，90°＜∠EAB＜135°．
∴点P只能在点A的右侧．
依据两点间的距离公式可知：EB=7$\sqrt{2}$，AQ=3$\sqrt{2}$，AB=5．
当△QAP′∽△ABE时，则$\frac{AP′}{BE}=\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{AP′}{7\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，解得AP′=$\frac{42}{5}$，
∴OP′=$\frac{42}{5}$-4=$\frac{22}{5}$．
当，△AQP∽△BEA时，则$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{BE}$，即$\frac{AP}{5}=\frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}$，解得：AP=$\frac{15}{7}$，
∴OP=5-$\frac{15}{7}$=$\frac{13}{7}$．
∴点P的坐标为：（$\frac{22}{5}$，0）或（-$\frac{13}{7}$，0），

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数求最大值，直线和圆的位置关系，相似三角形的性质，列出MN的长度与点M的横坐标之间的函数关系是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键．