Question

【题目】已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，

①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？

③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．

Answer 1

【答案】①.二次函数的对称轴的方程为x=； ②.b为2+或2﹣时，二次函数的图象与x轴相切；③. 二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1．

【解析】

试题分析：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，即可得出答案；②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），y由二次函数的图象与x轴相切且c=b2﹣2b，得出方程组，求出b即可；③由圆周角定理得出∠AMB=90°，证出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OAOB，由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，证明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出，，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1，由x1x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程组，解方程组求出b的值即可．

试题解析：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，当b=1时，=，

∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=．

②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），

∵二次函数的图象与x轴相切且c=b2﹣2b，

∴，解得：b=2+或b=2﹣，

∴b为2+或2﹣时，二次函数的图象与x轴相切．

③∵AB是半圆的直径，∴∠AMB=90°，∴∠OAM+∠OBM=90°，

∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM，

∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2=OAOB，

∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），

∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1x2=﹣（c+1），∵OM=c+1，∴（c+1）2=c+1，

解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，

∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，

∴AD=BD，DF=4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，

∴，∴DE=，DF=，∴×4，∴OB=4OA，即x2=﹣4x1，

∵x1x2=﹣（c+1）=﹣1，∴，解得：，∴b=﹣+2=，

∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1．