理解:数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值.经过思考.讨论.交流.得到以下思路:思路一如图1.在Rt△ABC中.∠C=90°.∠ABC=30°.延长CB至点D.使BD=BA.连接AD．设AC=1.则BD=BA=2.BC=$\sqrt{3}$．tanD=tan15°=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{}$=2-$\sqrt{3}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=$\sqrt{3}$．tanD=tan15°=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$．
思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=$\frac{tan{α}_{-}^{+}tanβ}{{1}_{+}^{-}tanαtanβ}$．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°-45°）=$\frac{tan60°-tan45°}{1+tan60°tan45°}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
（3）拓展：如图3，直线y=$\frac{1}{2}$x-1与双曲线y=$\frac{4}{x}$交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，就可解决问题；
（2）如图2，在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AB，运用三角函数求得∠BAC=30°．从而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，运用三角函数就可求出DB，从而求出DC长；
（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F，可先求出点A、B、C的坐标，从而求出tan∠ACF的值，进而利用和（差）角正切公式求出tan∠PCE=tan（45°+∠ACF）的值，设点P的坐标为（a，b），根据点P在反比例函数的图象上及tan∠PCE的值，可得到关于a、b的两个方程，解这个方程组就可得到点P的坐标；②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4，由①可知∠ACP=45°，P（（$\frac{4}{3}$，3），则有CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，易证△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出GO，从而得到点G的坐标，然后用待定系数法求出直线CG的解析式，然后将直线CG与反比例函数的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的方程，运用根的判别式判定，得到方程无实数根，此时点P不存在．

解答解：（1）方法一：如图1，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．
设AC=1，则BD=BA=2，BC=$\sqrt{3}$．
tan∠DAC=tan75°=$\frac{DC}{AC}$=$\frac{DB+BC}{AC}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{1}$=2+$\sqrt{3}$；
方法二：tan75°=tan（45°+30°）
=$\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°•tan30°}$=$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$；

（2）如图2，
在Rt△ABC中，
AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}-3{0}^{2}}$=30$\sqrt{3}$，
sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{30}{60}$=$\frac{1}{2}$，即∠BAC=30°．
∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．
在Rt△ABD中，tan∠DAB=$\frac{DB}{AB}$，
∴DB=AB•tan∠DAB=30$\sqrt{3}$•（2+$\sqrt{3}$）=60$\sqrt{3}$+90，
∴DC=DB-BC=60$\sqrt{3}$+90-30=60$\sqrt{3}$+60．
答：这座电视塔CD的高度为（60$\sqrt{3}$+60）米；

（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．
过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-1}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点A（4，1），点B（-2，-2）．
对于y=$\frac{1}{2}$x-1，当x=0时，y=-1，则C（0，-1），OC=1，
∴CF=4，AF=1-（-1）=2，
∴tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF）
=$\frac{tan45°+tan∠ACF}{1-tan45°•tan∠ACF}$
=$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=3，即$\frac{PE}{CE}$=3．
设点P的坐标为（a，b），
则有$\left\{\begin{array}{l}{ab=4}\\{\frac{b+1}{a}=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（-1，-4）或（$\frac{4}{3}$，3）；
②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．
由①可知∠ACP=45°，P（（$\frac{4}{3}$，3），则CP⊥CG．
过点P作PH⊥y轴于H，
则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°-∠HCP=∠CPH，
∴△GOC∽△CHP，
∴$\frac{GO}{CH}$=$\frac{OC}{HP}$．
∵CH=3-（-1）=4，PH=$\frac{4}{3}$，OC=1，
∴$\frac{GO}{4}$=$\frac{1}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∴GO=3，G（-3，0）．
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线CG的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-1}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
消去y，得
$\frac{4}{x}$=-$\frac{1}{3}$x-1，
整理得：x²+3x+12=0，
∵△=3²-4×1×12=-39＜0，
∴方程没有实数根，
∴点P不存在．
综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（-1，-4）或（$\frac{4}{3}$，3）．

点评本题主要考查了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、和（差）角正切公式、用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数与一次函数的图象的交点、相似三角形的判定与性质、勾股定理、根的判别式、解一元二次方程等知识，考查了运用已有经验解决问题的能力，在解决问题的过程中，用到了分类讨论的数学思想，用到了类比探究的数学方法，是一道体现新课程理念（自主探究与合作交流相结合）的好题．

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8．

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9．将边长为4的等边三角形OAB放置在平面直角坐标系中，其中O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，点D是线段OB上的动点，设OD=m．
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6．【问题提出】
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【类比探究】
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（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．

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13．毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：

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名称及图形几何点数层数
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第二层几何点数	2	3	4	5
第三层几何点数	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六层几何点数	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n层几何点数	n	2n-1	3n-2	4n-3

请写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．

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3．如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
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