Question

如图，已知AC、AB、BC是⊙O的弦，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点D．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）延长CD交⊙O于点F，连接AE、BF，AC=12、CE=13，求BF长．

Answer 1

（1）证明：∵CE是⊙O的直径，
∴∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BAC+∠ACD=90°，
∴∠BAE=∠ACD，
∵∠BAE=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE；

（2）∵∠ACD=∠BCE，
即∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD，
∵∠CAE=∠CDB=90°，
∴△ACE∽△DCB，
∴AC：DC=AE：DB，
∵在Rt△ACE中，AC=12，CE=13，
∴AE=

CE2-AC2

=5，
∴CD：BD=AC：AE=12：5，
∵∠CAB=∠F，∠ACD=∠ABF，
∴△ACD∽△FBD，
∴AC：BF=CD：BD=12：5，
∴BF=

5

12

×12=5．