Question

正实数a、b满足a^b=b^a，且a＜1，求证：a=b．

Answer 1

分析：首先通过已知可知a^b=b^a＞0，因而对其两边取对数，可得到

lna

a

=

lnb

b

．我们设想f(x)=

lnx

x

．只要证得f（x）在0＜x＜1 时为单调函数，必然可得到a=b．如何求单调，只需求其单调性，只要求f（x）的导数即可．

解答：解：∵a^b=b^a?ln（a^b）=ln（b^a）?blna=alnb?

lna

a

=

lnb

b

，
∴令f(x)=

lnx

x

，
∵求导可得f（x）是单调函数，
∴不可能有a≠b，而

lna

a

=

lnb

b

，
∴a=b．

点评：本题考查求导公式的应用、分式的等式证明．解决本题的关键是通过将a^b=b^a转会为

lna

a

=

lnb

b

，再利用函数的单调性证明．