Question

（2012•河源二模）已知：如图所示，抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S_△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；
（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线y=-x²+bx+c中，列方程组可求抛物线解析式；
（2）由于AB=3-1=2，而S_△PAB=1，故△PAB中，AB边上的高为1，即P点纵坐标为±1，代入抛物线解析式可求P点横坐标；
（3）过点C作抛物线的对称轴的对称点C'，根据抛物线的对称性求得C′（4，-3），连接直线AC′，求直线AC′的解析式，直线AC′与对称轴的交点即为所求点M．

解答：解：（1）依题意有

-1+b+c=0 -9+3b+c=0

，
∴b=4，c=-3，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x-3；

（2）如图，设P（x，y）
∵AB=2，S_△PAB=1
∴

1

2

×2×|y|=1
∴y=±1
当y=1时，x₁=x₂=2，
当y=-1时，x=2±

2

，
∴满足条件的点P有三个坐标分别为（2，1），（2+

2

，-1），（2-

2

，-1）；

（3）存在．
过点C作抛物线的对称轴的对称点C'，
∵点C（0，-3），对称轴为x=2，
∴C′（4，-3），
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
则

k+b=0 4k+b=-3

，
∴k=-1，b=1，
∴直线AC′的解析式为y=-x+1，
直线AC′与对称轴x=2的交点为（2，-1），即M（2，-1），
∴存在点M（2，-1），可使△AMC的周长最小．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是利用待定系数法求抛物线解析式，根据面积公式求P点纵坐标，根据抛物线解析式求P点横坐标，根据抛物线的对称性求三角形的最小周长．