Question

如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H．

小题1:求△PEF的边长；
小题2:在不添加辅助线的情况下，从图中找出一个除△PEF外的等腰三角形，并说明理由
小题3:若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．

Answer 1

 
小题1:过P作PQ⊥BC于Q（如图1） 
矩形ABCD，∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又AD∥BC，∴PQ=AB=
∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ=60°
在Rt△PQF中，QF：PQ：PF=1：：2
∴△PEF的边长为2．       ……………………4分
小题2:△APH是等腰三角形。理由如下：
∵AD∥BC，∠PFQ=60°，∴∠FPD=60°
在Rt△ADC中，AD=，DC=3，∴由勾股定理得AC=2，
∴AD=AC，∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFQ=60°，∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，∴△APH是等腰三角形．   ……4分
小题3:PH－BE=1，理由如下：
作ER⊥AD于R（如图2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，∴PR=PE=1，∴PH－BE= PA－BE=PR=1。    …………2分

 略