如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=3.AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动.到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回.点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P.Q的运动.DE保持垂直平分PQ.且交PQ于点D.交折线QB-BC-CP于点E．点P.Q同时出发.当点Q到达点B时停止运动.点P也随之停止．设� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回，点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP=1，点Q到AC的距离是$\frac{8}{5}$；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．

分析（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离；
（2）过点Q作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式；
（3）当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t；
（4）①第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QG⊥BC于点G，由PC²=QC²解得t；②第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t．

解答解：（1）如图1，过点Q作QF⊥AC于点F，
∵AC=3，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴当t=2时，AP=3-2=1；
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．
∴BC=4，
∵QF⊥AC，BC⊥AC，
∴QF∥BC，
∴△ACB∽△AFQ，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QF}{BC}$，
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{QF}{4}$，
解得：QF=$\frac{8}{5}$；
故答案为：1，$\frac{8}{5}$；

（2）如图1，过点Q作QF⊥AC于点F，
如图1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，
得QF$\frac{QF}{4}$=$\frac{t}{5}$．
∴QF=$\frac{4}{5}$t．
∴S=$\frac{1}{2}$（3-t）•$\frac{4}{5}$t，
即S=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t；

（3）能．
①当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
即$\frac{t}{3}$=$\frac{3-t}{5}$．
解得t=$\frac{9}{8}$；
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，
即$\frac{t}{5}$=$\frac{3-t}{3}$．
解得t=$\frac{15}{8}$，
综上：在点E从B向C运动的过程中，当t=$\frac{9}{8}$或$\frac{15}{8}$时，四边形QBED能成为直角梯形；

（4）t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{45}{14}$．
①点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图4．
∵sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{QG}{BQ}$，
∴QG=$\frac{3}{5}$（5-t），
同理BG=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴CG=4-$\frac{4}{5}$（5-t），
∴PC=t，QC²=QG²+CG²=[$\frac{3}{5}$（5-t）]²+[4-$\frac{4}{5}$（5-t）]²．
∵CD是PQ的中垂线，
∴PC=QC
则PC²=QC²，
得t²=[$\frac{3}{5}$（5-t）]²+[4-$\frac{4}{5}$（5-t）]²，
解得t=$\frac{5}{2}$；
，②点P由A向C运动，DE经过点C，如图5．
PC=6-t，可知由PC²=QC²可知，
QC²=QG²+CG²
（6-t）²=[$\frac{3}{5}$（5-t）]²+[4-$\frac{4}{5}$（5-t）]²，
即t=$\frac{45}{14}$．

点评此题属于三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理以及三角函数等知识，注意准确作出辅助线，掌握方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．

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