Question

6．△ABC是边长为1的正三角形，点E、F分别在BC、AC上，且BE=CF，连接AE、BF交于点P，AE⊥PC，则BE=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 在BF上截取PN=CN，连接CN，先证明△ABE≌△BCF，得出∠BAE=∠CBF，∠AEB=∠BFC，进而证得∠APF=∠BAE+∠ABF=60°，∠CPF=30°，得出∠CNF=60°，再证明△PBE≌△NCF，得出PB=CN，即可证得BN=2PN，然后通过△APB≌△BNC，PA=BN=2PN，进而通过直角三角函数求得PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA，CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC，最后根据平行线分线段定理得出$\frac{CM}{PA}$=$\frac{CF}{AF}$，就可求得CF的长，即BE的长．

解答 解：在BF上截取PN=CN，连接CN，
在△ABE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABE=∠BCF=60°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，∠AEB=∠BFC，
∵∠CBF+∠ABF=60°，
∴∠APF=∠BAE+∠ABF=60°，
∵AE⊥PC，
∴∠CPF=30°，
∵PN=CN，
∴∠PCN=30°，
∴∠CNF=60°，
在△PBE和△NCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPE=∠CNF=60°}\\{∠PEB=∠NFC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△NCF（AAS），
∴PB=CN，
∴PN=PB，
∴BN=2PN，
∵∠APF=∠BAP+∠PBA=60°，∠CBN+∠ABP=60°，
∴∠BAP=∠CBN，
在△APB和△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠CBN}\\{∠APB=∠BNC=120°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△BNC（AAS），
∴PA=BN=2PN，
作CM∥AE，交BF的延长线于M，作NK⊥PC于K，则PC⊥CM，PK=$\frac{1}{2}$PC，
∵∠CPF=30°，
∴PK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PN，
∴PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA，
∴PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PC，
在RT△PCM中，∠CPF=30°，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC，
∵CM∥AE，
∴$\frac{CM}{PA}$=$\frac{CF}{AF}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}PC}{\frac{2\sqrt{3}}{3}PC}$=$\frac{CF}{1-CF}$，
∴CF=$\frac{1}{3}$．
∴BE=$\frac{1}{3}$．
故答案为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，解直角三角函数，平行线分线段成比例定理等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．