Question

20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC²=CD•2OE；
（3）若sin∠BAD=$\frac{3}{5}$，BE=6，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；
（2）证明OE是△ABC的中位线，则AC=2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．

解答 解：（1）证明：如图，

连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为圆O的切线；
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{BC}$ 
即BC²=AC•CD，
∴BC²=CD•2OE
（3）解：∵OE∥AC，
∴∠BAD=∠BOE
∴sin∠BOE=sin∠BAD=$\frac{3}{5}$
∴$\frac{BE}{OE}=\frac{3}{5}$
又∵BE=6
∴OE═10．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．