Question

18．如图，在平面直角坐标系中，已知C（2，4），在x轴的负半轴上取点A（m-3，0），在x轴的正半轴上取点B（4m+2，0），O为原点，AC=BC．
（1）求m的值；
（2）动点P由点A出发沿AC向点C运动，同时点Q由点B出发，以与点P相同的速度沿射线CB方向运动，当点P到达点C时，两点运动同时停止，连接PQ交x轴于点G，作PE⊥x轴于点E，求EG的长．
（3）在（2）的条件下，以PQ为底边，在x轴的上方作等腰直角三角形，即PM=QM，∠M=90°，若△GCM的面积等于8，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先作CH⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质，得出AH=KH，即5-m=4m，求得m的值；
（2）先作QK⊥x轴，判定△APE≌△BQK，以及△PEG≌△QKG，得出EG=KG，根据EG=$\frac{1}{2}$EK=$\frac{1}{2}$AB进行计算即可；
（3）作MN⊥y轴于N，连接CM，先判定△MGN≌△GQK，得出GK=MN=4=CH，再根据△GCM的面积等于8，得到$\frac{1}{2}$×CM×MN=8，即2CM=8，求得CM=4，最后根据矩形MNHC中，HN=CM=2，OH=2，得到ON=OH+HN=2+4=6，进而得出M的坐标．

解答 解：（1）如图1，作CH⊥AB于H，
∵C（2，4），A（m-3，0），B（4m+2，0），
∴AH=2-（m-3）=5-m，BH=4m+2-2=4m，
∵AC=BC，
∴AH=KH，即5-m=4m，
解得m=1；

（2）如图1，作QK⊥x轴于K，
∵PE⊥AE，
∴∠BKQ=∠AEP=90°，
∵点Q由点B出发，以与点P相同的速度沿射线CB方向运动，
∴AP=BQ，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=∠KBQ
在△APE和△BQK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠QBK}\\{∠AEP=∠KBQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQK（AAS），
∴PE=QK，AE=KB，
在△PEG和△QKG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGE=∠QGK}\\{∠PEG=∠QKG}\\{PE=QK}\end{array}\right.$，
∴△PEG≌△QKG（AAS），
∴EG=KG，
由（1）可得，m=1，
∴AO=2，BO=6，BK=AE=1，AB=2+6=8，
∴EG=$\frac{1}{2}$EK=$\frac{1}{2}$AB=4；

（3）如图2，作MN⊥y轴于N，连接CM，
∵△PEG≌△QKG，
∴PG=QG，
又∵PM=MQ，∠PMQ=90°，MG⊥PQ，
∴∠MQP=∠MPQ=∠GMQ=∠MQG=45°，
∴MG=GQ，
∵∠GMN+∠MGB=90°=∠QGK+∠MGK，
∴∠GMN=∠QGK，
在△MGN和△GQK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GMN=∠QGK}\\{∠MNG=∠GKQ}\\{MG=QG}\end{array}\right.$，
∴△MGN≌△GQK（AAS），
∴GK=MN，
又∵GK=EG=4，C（2，4），
∴MN=4=CH，
∴CM∥x轴，
∴∠MCH=∠CHE=90°，
∵△GCM的面积等于8，
∴$\frac{1}{2}$×CM×MN=8，即2CM=8，
∴CM=4，
∴矩形MNHC中，HN=CM=2，
又∵OH=2，
∴ON=OH+HN=2+4=6，
∴M（6，4）．

点评 本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题时需要运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算公式以及矩形的性质等，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及矩形．