Question

【题目】直线l：y=2x+2m(m>0)与x，y轴分别交于A.B两点，点M是双曲线(x>0)上一点，分别连接MA、MB.

(1)如图，当点A(，0)时，恰好AB=AM，∠MAB=90°，试求M的坐标；

(2)如图，当m=3时，直线l与双曲线交于C.D两点，分别连接OC、OD，试求△OCD面积；

(3)如图，在双曲线上是否存在点M，使得以AB为直角边的△MAB与△AOB相似?如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（，）；（2）3；（3）（4，1），（2，2），（，），（，）.

【解析】

（1）把A的坐标代入直线的解析式即可求得m的值，然后证明△OAB≌△EMA，求得ME和AE的长，则M的坐标即可求解；
（2）解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，即可求得C和D的坐标，作DF⊥y轴于点F，CG⊥y轴，根据S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG-S△ODF求解；
（3）分类讨论：以∠BAM和∠ABM为直角两种情况．①当∠BAM=∠BOA=90°时，作MH⊥x轴于点H，先求得AM的长，再根据相似三角形的性质求得AH和MH的长，进而求得M的坐标，代入反比例函数关系式求出m即可，②当∠ABM=90°时，过点M作MH⊥y轴于点H，同理可求出M坐标.

(1)把A(，0)代入y=2x+2m得：+2m=0，

解得：m=.

则直线的解析式是：y=2x+，

令x=0,解得y=，

则B的坐标是(0, ).

如图所示，作ME⊥x轴于点E.

∵∠BAM=90°，

∴∠BAO+∠MAE=90°，

又∵直角△AEM中,∠AME+∠MAE=90°，

∴∠BAO=∠AME.

在△OAB和△EMA中，

∴△OAB≌△EMA(AAS)，

∴ME=OA=,AE=OB=.

∴OE=OA+AE=，

则M的坐标是(，)；

(2)当m=3时，一次函数的解析式是y=2x+6.

解不等式组，

得或，

则D的坐标是(1,4),C的坐标是(2,2).

如图，作DF⊥y轴于点F，CG⊥y轴,则F和G的坐标分别是(0,4)，(0,2).

则S△OCG=S△ODF=×4=2，

S梯形CDFG=×(1+2)×(42)=3，

则S△OCD=S梯形CDFG+S△OCGS△ODF=3;

(3)如图，作MH⊥x轴于点H.

则△AOB、△ABM、△AMH都是两直角边的比是1:2的直角三角形.

①当∠BAM=∠BOA=90°时，OA=m，OB=2m，得：

AM=AB=m，MH=OA=；

从而得到点M的坐标为(2m, ).

代入双曲线解析式为：=，

解得：m=2,则点M的坐标为(4,1)；

同理当∠BAM=∠OBA时,可求得点M的坐标为(，).

②当∠ABM=90°时，过点M作MH⊥y轴于点H，

则△AOB、△ABM、△BMH都是直角边的比是1:2的直角三角形；

当∠AMB=∠OAB时，OB=m，OA=2m，

得：AH=2OB=2m，MH=2OA=4m，

从而点M的坐标为(4m,4m)

代入双曲线的解析式得：4m×4m=4，

解得：m=,点M的坐标为(2,2)；

同理,当∠AMB=∠OBA时,点M的坐标为(,).

综上所述，满足条件的点M的坐标是：（4，1），（2，2），（，），（，）.