Question

【题目】如图1，已知∠MPN的角平分线PF经过圆心O交⊙O于点E、F，PN是⊙O的切线，B为切点．

（1）求证：PM也是⊙O的切线；

（2）如图2，在（1）的前提下，设切线PM与⊙O的切点为A，连接AB交PF于点D；连接AO交⊙O于点C，连接BC，AF；记∠PFA为∠α．

①若BC=6，tan∠α=，求线段AD的长；

②小华探究图2之后发现：EF2=mODOP（m为正整数），请你猜想m的数值？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①4；②4.

【解析】

（1）过点O作OA⊥PM，垂足为A，连接OB，根据切线的性质可得出OB是⊙O的半径且OB⊥PN，由PF平分∠MPN利用角平分线的性质可得出OA=OB，进而可证出PM也是⊙O的切线；

（2）①由PM、PN都是⊙O的切线可得出PA=PB，利用等腰三角形的三线合一可得出OP⊥AB、AD=BD，由三角形中位线的性质可得出OD=3，设⊙O的半径为r，则FD=r+3，AD=（r+3），在Rt△AOD中，利用勾股定理可求出r的值，将其代入AD=（r+3）中即可求出AD的长度；

②由∠OAP=∠ODA=90°、∠AOP=∠DOA可证出△OAP∽△ODA，利用相似三角形的性质可得出OA2=ODOP，结合EF=2OA可证出EF2=4ODOP，即m=4．

（1）证明：在图1中，过点O作OA⊥PM，垂足为A，连接OB．

∵PN是⊙O的切线，B为切点，

∴OB是⊙O的半径，且OB⊥PN．

∵PF平分∠MPN，

∴OA=OB，

∴PM也是⊙O的切线；

（2）①∵PM、PN都是⊙O的切线，

∴PA=PB．

∵∠APD=∠BPD，

∴OP⊥AB，AD=BD．

∵OD为△ABC的中位线，

∴OD=BC=3．

设⊙O的半径为r，则FD=r+3，

∵tan∠α=，

∴AD=（r+3）．

在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即r2=[（r+3）]2+32，

解得：r=5，

∴AD=（r+3）=4．

②猜想m=4．

证明：∵∠OAP=∠ODA=90°，∠AOP=∠DOA，

∴△OAP∽△ODA，

∴，即OA2=ODOP，

又∵EF=2OA，

∴EF2=4ODOP，

∴m=4．