Question

16．阅读下列材料：
问题：如图所示，在正方形ABCD和?BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF中点，连接PG，PC．
探究：当PG与PC的夹角为90°时，平行四边形BEFG是正方形．
小聪同学的思路是：首先可以证明四边形BEFG是矩形，然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题答案．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
（1）求证：四边形BEFG是矩形；
（2）求证：PG与PC的夹角为90°时，四边形BEFG是正方形．

Answer 1

分析 （1）先有正方形ABCD得出∠EBG=90°，即可得出结论；
（2）先由正方形得出∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，从而判断出△DHP≌△FGP，再由正方形的性质即可

解答 证明：（1）在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠EBG=90°，
∵四边形BEFG是平行四边形，
∴平行四边形BEFG是矩形，
（2）如图，

延长GP交DC于点H，
∵在正方形ABCD和?BEFG中，
∴AB∥DC，RE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，
∵点P是线段DF中点，
∴DP=FP，
∴△DHP≌△FGP，
∴DH=FG，HP=GP，
∵∠CPG=90°，
∴CH=CG，
在正方形ABCD中，DC=BC，
∴DH=BG，
∴BG=GF，
由（1）知，四边形BEFG是矩形，
∴四边形BEFG是正方形．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了矩形的判定，正方形的性质和判定和平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△DHP≌△FGP．