Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．

（1）求点E的坐标；

（2）求抛物线的函数解析式；

（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）E（0，3）（2）y＝x2﹣x（3）

【解析】

（1）先求出直线AB的解析式，从而根据点E的横坐标为0，可得其纵坐标；

（2）根据抛物线过原点，可设抛物线为y＝mx2+nx，代入A、B的坐标，即可确定抛物线解析式；

（3）只需确定边OB上高的最大值即可，设过点N且与直线OB平行的直线解析式为y＝x+c，当且仅当直线y＝x+c与抛物线y＝相切时△BON的面积最大，确定取得最大时点N的坐标，再由S△BON＝S△OCB﹣S△ODN﹣S梯形NDCB，即可得出答案．

（1）设点A、B所在的直线解析式为y＝kx+b，

则

解得：

即直线AB的解析式为y＝ x+3，

令x＝0，得y＝3，

故E（0，3）．

（2）∵所求抛物线过原点，

∴设所求抛物线为y＝mx2+nx，

将点A、B的坐标代入，得：

解得：

∴抛物线的解析式为

（3）不难求出直线OB的解析式为y＝x，

要使△BON的面积最大，只需OB边上的高最大即可，

设过点N且与直线OB平行的直线解析式为y＝x+c，

当且仅当直线y＝x+c与抛物线相切时△BON的面积最大，

由，消去y并整理得x2﹣6x﹣4c＝0，

当△（﹣6）2﹣4×1×（﹣4c）＝0时，方程x2﹣6x﹣4c＝0的解为x＝3，

将x＝3代入，得y＝，

∴N（3，），

过点B、N分别作BC⊥x轴于点C，ND⊥x轴于点D，

S△BON＝S△OCB﹣S△ODN﹣S梯形NDCB＝