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已知,A(3,a)是双曲线y= 上的点,O是原点,延长线段AO交双曲线于另一点B,又过B点作BK⊥x轴于K.
(1)试求a的值与点B坐标;
(2)在直角坐标系中,先使线段AB沿x轴的正方向平移6个单位,得线段A1B1,再依次在与y轴平行的方向上进行第二次平移,得线段A2B2,且可知两次平移中线段AB先后滑过的面积相等(即?AA1B1B与?A1A2B2B1的面积相等).求出满足条件的点A2的坐标,并说明△AA1A2与△OBK是否相似的理由;
(3)设线段AB中点为M,又如果使线段AB与双曲线一起移动,且AB在平移时,M点始终在抛物线y= (x-6)2-6上,试判断线段AB在平移的过程中,动点A所在的函数图象的解析式;(无需过程,直接写出结果.)
(4)试探究:在(3)基础上,如果线段AB按如图2所示方向滑过的面积为24个平方单位,且M点始终在直线x=6的左侧,试求此时线段AB所在直线与x轴交点的坐标,以及M点的横坐标.

解:解:(1)将A代入双曲线y=中,可得3=
故a=4,A(3,4);由于A、B关于原点对称,那么B(-3,-4).     
(2)∵A(3,4),B(-3,-4),则AB间的横向距离、纵向距离分别为6、8个单位,
∴由题意可得:?AA1B1B的面积为48,
又∵?AA1B1B与?A1A2B2B1的面积相等,
∴第二次线段A1B1进一步在纵向平移了8个单位.
故:AA1=6,A1A2=8
可知,第二次在平移的方向上可能向上,也可能向下.
∴①当线段向上平移时:A(3,4)→A1(9,4)→A2(9,12);
②当线段向下平移时:A(3,4)→A1(9,4)→A2(9,-4).
所以A2的坐标为:(9,12)或(9,-4)                      
又∵OK=3,KB=4,

而∠OKB=∠AA1A2=90°,
故:△AA1A2∽△OBK.        
(3)由题意可知:将抛物线y=(x-6)2-6向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得:
A点满足的解析式为:y=(x-9)2-2.    
(4)∵AB=10且使线段AB按如图所示方向滑过的面积为24个平方单位,M在直线x=6的左侧,
∴AB在平移前后的平行距离为
过A(3,4)点作AT⊥x轴于T,又可得T点到平移前线段AB的距离为

∴平移后AB直线与x轴的交点必为T(3,0).又可知平移后AB直线解析式为:y=x-4,
此时M为抛物线:y=(x-6)2-6与直线:y=x-4的交点,
∴解方程:(x-6)2-6=x-4,
得:x=10±2
又∵0<x<6,
∴x=10-2
故M的横坐标为10-2         

解析(1)将A点坐标代入反比例函数的解析式中,即可求得a的值,而A、B关于原点对称,由此求出B点的坐标.
(2)根据A、B的坐标知:A、B的横向、纵向距离分别为6、8,若线段AB向x轴正方向移动6个单位,那么它的面积应该是6×8=48,由于?与?的面积相等,而A、B的横距离为6,那么第二次平移的距离必为8个单位,然后分向上、向下平移两种情况分类讨论即可得到点A2的坐标;
在求△与△OBK是否相似,已知∠OKB=∠=90°,只需比较两组直角边是否对应成比例即可.
(3)已知了M、A的横、纵坐标的差分别为3、4,因此将过M的抛物线向右平移3个单位后,再向上平移4个单位,即可得到所求的抛物线解析式.
(4)易知AB=10,若平移后扫过的面积为24,那么线段AB平行移动的距离为,过A作x轴的垂线,设垂足为T,则T到AB的距离为,也就是说点T在平移后的直线AB上(即平移后的直线AB与x轴的交点),易求得直线AB的斜率,结合点T的坐标,即可得到平移后直线AB的解析式,联立抛物线的解析式可求得M点的横坐标.

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