Question

如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点R从O出发沿OM方向以每秒

2

个单位速度运动，运动时间为t．求：
（1）C的坐标为

 

；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过C作CE⊥x轴于E，易证得△ABO≌△BCE，可得AO=BE、OB=CE，由此求出点C的坐标．
（2）由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则：
由于直线OP经过正方形的对称中线，因此OP平分∠AOB，即∠AOP=45°，由于AB∥CD，故∠ANO=∠DMO，若△ANO与△DMR相似，则有两种情况：
①∠DRM=45°，此时DR∥y轴，即点R、D、H的横坐标都相同，由此求出点H的坐标；
②∠RDM=45°，此时R、P重合，因此R、H的横坐标相同，由此求出点H的坐标．
（3）此题应分三种情况讨论：
①CR∥AB，此时R、M重合，可求出直线CD的解析式，联立直线OP的解析式，即可求得M点（即R）的坐标，进而得到H点坐标和t的值，然后再将t代入①的函数解析式中即可得到S的值；
②AR∥BC，③BR∥AC，解法同上．

解答：解：（1）如图，过C作CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OAB=∠EBC（同角的余角相等）．
∴在△ABO与△BCE中，

∠AOB=∠BEC=90° ∠OAB=∠EBC AB=BC

，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴AO=BE=3，OB=CE=1，
∴C（4，1）．
故填：（4，1）；

（2）∵P是正方形的对称中心，由A（0，3），C（4，1），
∴P（2，2）；
∴∠MOB=45°，
∴∠AON=45°，
∵点R从O出发沿OM方向以

2

个单位每秒速度运动，运动时间为t，
∴OR=

2

t，
∴∠DMR=∠ANO，
若△ANO与△DMR相似，则∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°，
①当∠MDR=45°时，R、P重合，
∵R（2，2），
∴t=2；
②当∠DRM=45°时，DR∥y轴，
∵D（3，4），
∴R（3，3），
∴t=3，
∴当t=2或t=3时，△ANO与△DMR相似．

（3）若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况：
①CR∥AB；此时R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=-3x+13；
当x=y时，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即M（即R）点横坐标为

13

4

，H（

13

4

，0）；
故t=

13

4

；
同理可求得：
②AR∥BC时，t=

9

2

；
③BR∥AC时，t=

1

3

．
综上所述，当CR∥AB时，t=

13

4

，
当AR∥BC时，t=

9

2

，
当BR∥AC时，t=

1

3

．

点评：此题主要考查了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，梯形的判定等知识，同时还考查了分类讨论思想在动点问题中的应用，难度较大．