Question

如图，在平面直角坐标系中，过A在抛物线上，过A作AB⊥轴于点B，AD⊥轴于点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为A′，A′B与OD交于点C，重叠部分(阴影)为△BDC．

 (1)求证：△BDC是等腰三角形;

 (2)如果A点的坐标是(1,)，求△BDE的面积;

 (3)在(2)的条件下，求直线BC的解析式，并判断点A′是否落在已知的抛物线上?请说明理由．

Answer 1

(1)证明：在矩形ABOD中，AB∥OD，

       ∴∠ABD=∠CDB．

又由折叠知，  ∠ABD=∠CBD，

       ∴∠CDB=∠CBD．

       ∴ABDC是等腰三角形．

  (2)解：点A(1，m)在抛物线上，

      ∴．

      ∴

    在Rt△ABD中，，

    ∴∠ABD=  ∴∠DBC=  ∴∠OBC=.

       在Rt△OBC中,OC=OB?tan=，

       ∴

       ∴ 

(3)①设直线BC的解析式为，由B(1,0)，C(O,)．

     解得

∴直线BC的解析式为                

②过A′作AE⊥x轴，垂足为E，

在Rt△A′BE中，BA′=AB=，∠A′BE=，

所以

∴

∴.

当时，

∴点A′在已知的抛物线上