Question

【题目】如图1，已知∠ABC=90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．

（1）求证：BE=BF；

（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ABD、△CBD是等腰三角形，△ABC是等腰三角形，△BEF是等腰三角形.

【解析】

（1）根据直角三角形的性质得到BD⊥AC，∠DBC=45°，根据角平分线的定义得到∠BAF=22.5°，根据三角形内角和定理计算，根据等腰三角形的判定定理证明即可；

（2）根据等腰三角形的概念解答．

（1）证明：∠ABC=90°，BA=BC，点D为斜边AC的中点，

∴BD⊥AC，∠DBC=45°，

∵AF是∠BAC的平分线，

∴∠BAF=22.5°，

∴∠BFE=67.5°，

∴∠BEF=180°﹣∠EBF﹣∠EFB=67.5°，

∴∠BFE=∠BEF，

∴BE=BF；

（2）∵∠ABC=90°，BA=BC，点D为斜边AC的中点，

∴BD=AD=CD，

∴△ABD、△CBD是等腰三角形，

由已知得，△ABC是等腰三角形，

由（1）得，△BEF是等腰三角形，

∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，

∴点E是△ABC的内心，

∴∠EAC=∠ECA=22.5°，

∴△AEC是等腰三角形．