Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC中点，AC=2，CD=2，若点P从点B出发，在BA上以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度向点A运动（点P不与点B重合）．在点P的运动过程中，过点P作PE⊥BC于点E，以PE为边向右作正方形PEFM，设点P的运动时间为t（秒）．正方形PEFM与△ADB重叠部分面积为S（平方单位）．
（1）AB的长为2$\sqrt{5}$；
（2）当正方形PEFM有顶点落在AD上时t的值；
（3）求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出△PBE与△MFD全等时t的值．

Answer 1

分析 （1）求得BC，利用勾股定理求得AB；
（2）分当点F与点D重合，点E与点D重合两种情况探讨得出答案即可；
（3）分三种情况：①当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，②当$\frac{2}{3}$＜t≤1时，③当1＜t≤2，利用正方形和三角形的面积探讨得出答案即可；
（4）当EB=DF时，△PBE与△MFD全等，由BE+FD+EF=BD求得t的数值即可．

解答 解：（1）∵D为BC中点，
∴BC=2CD=4，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）①当点F与点D重合时，
如图：

∵PE⊥BC，AC⊥BC，
∴PE∥AC，
∴△PBE∽△ABC，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{PE}{AC}$，
即$\frac{\sqrt{5}t}{2\sqrt{5}}$=$\frac{BE}{4}$=$\frac{PE}{2}$，
BE=2t，PE=t，
∵四边形PEFM是正方形，
∴EF=PE，
即2-2t=t，
解得：t=$\frac{2}{3}$；
②当点E与点D重合时，
如图，

PE是恰好是△ABC的中位线，
则BP=$\sqrt{5}$，t=1；
③当点P与点A重合时，如图，

由（1）可知：AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
∴t=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2；
综上所知：当t=$\frac{2}{3}$或1或2时，正方形PEFM有顶点落在AD上；
（3）当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，S=t²；
当$\frac{2}{3}$＜t≤1时，

∵DF=3t-2
∴S=t²-$\frac{1}{2}$（3t-2）²=-$\frac{7}{2}$t²+6t-2
当1＜t≤2时

∵BE=2t，BD=2
∴DE=2t-2
∴GE=2t-2
∴PM=t-（2t-2）=2-t
∴S=$\frac{1}{2}$（2-t）²=$\frac{1}{2}$t²-2t+2
（4）当t＜2时，
∵EB=FD，∠PEB=∠MFD，PE=MF，
∴△PBE≌△MDF，
∴当EB=DF时，△PBE与△MFD全等．
∴BE+FD+EF=2
即t+2t+2t=2，t=$\frac{2}{5}$．
当t=2时，△PBE≌△MDF
∴t=$\frac{2}{5}$或2

点评 本题考查了相似形综合，是一道运动型综合题，涉及到动点型（两个动点）和动线型，运动过程复杂．读懂题意，弄清动点与动线的运动过程，是解题的要点．注意第（2）、（3）问中，分别涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免因漏解而失分．