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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.

(1)求证:直线CP是⊙O的切线;

(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离.

【答案】(1)证明见解析;(2)4.

【解析】

试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2CAN=CAB,CAB=2BCP判断出ACP=90°即可;

(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可.

试题解析:(1)∵∠ABC=∠ACB,

∴AB=AC,

∵AC为⊙O的直径,

∴∠ANC=90°,

∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,

∵∠CAB=2∠BCP,

∴∠BCP=∠CAN,

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,

∵点D在⊙O上,

∴直线CP是⊙O的切线;

(2)如图,作BF⊥AC

∵AB=AC,∠ANC=90°,

∴CN=CB=

∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=

∴sin∠CAN=

∴AC=5,

∴AB=AC=5,

设AF=x,则CF=5﹣x,

在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2

在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2

∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2

∴x=3,

∴BF2=25﹣32=16,

∴BF=4,

即点B到AC的距离为4.

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