Question

【题目】如图，在ABC中，CA=CB=10，AB=12，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．则下列结论正确的是_____

①DF⊥AC； ②DO=DB； ③S△ABC=48； ④cos∠E=．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

连接OD，BG，CD，如图，利用切线的性质得到OD⊥DF，再利用圆周角定理和等腰三角形的性质证明OD∥AC，则可对①进行判断；利用OB＝BC＝5，BD＝6可对②进行判断；利用勾股定理计算出CD＝8，则可计算出ABC的面积，从而可对③进行判断；利用面积法计算出BG＝，则cos∠CBG＝，然后证明∠E＝∠CBG，从而可对④进行判断．

解：连接OD，BG，CD，如图，

∵DF为切线，

∴OD⊥DF，

∵BC为直径，

∴∠BDC＝90°，

∵CA＝CB，

∴CD平分AB，即AD＝BD＝6，

而OB＝OC，

∴OD为ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∴DF⊥AC，所以①正确；

∵OB＝BC＝5，BD＝6，

∴OD≠BD，所以②错误；

在RtBCD中，CD＝＝8，

∴S△ABC＝CDAB＝×8×12＝48，所以③正确；

∵BC为直径，

∴∠BGC＝90°，

∴S△ABC＝BGAC＝48，

∴BG＝，

∴cos∠CBG＝＝＝，

∵BG⊥AC，EF⊥AC，

∴BG∥EF，

∴∠E＝∠CBG，

∴cos∠E＝，所以④正确．

故答案为：①③④．