Question

【题目】如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；

（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．

（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，请求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）点F的坐标为（2，4）；（3）∠AOF＝∠EOC，理由见解析；（4）P的坐标是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0）

【解析】

（1）设反比例函数的解析式为y＝，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；

（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4，由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；

（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线，所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论；

（4）分△PDQ的三个角分别是直角，三种情况进行讨论，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，即可构造全等的直角三角形，设出P的坐标，根据点在图象上，则一定满足函数的解析式即可求解，

解：

（1）设反比例函数的解析式y＝，

∵反比例函数的图象过点E（3，4），

∴4＝，即k＝12，

∴反比例函数的解析式y＝；

（2）∵正方形AOCB的边长为4，

∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4，

∵点D在反比例函数的图象上，

∴点D的纵坐标为3，即D（4，3），

∵点D在直线y＝﹣x+b上，

∴3＝﹣×4+b，

解得：b＝5，

∴直线DF为y＝﹣x+5，

将y＝4代入y＝﹣x+5，

得4＝﹣x+5，

解得：x＝2，

∴点F的坐标为（2，4），

（3）∠AOF＝∠EOC，理由为：

证明：在CD上取CG＝AF＝2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，

，

∴△OAF≌△OCG（SAS），

∴∠AOF＝∠COG，

，

∴△EGB≌△HGC（ASA），

∴EG＝HG，

设直线EG：y＝mx+n，

∵E（3，4），G（4，2），

∴，

解得，

∴直线EG：y＝﹣2x+10，

令y＝﹣2x+10＝0，得x＝5，

∴H（5，0），OH＝5，

在Rt△AOE中，AO＝4，AE＝3，根据勾股定理得OE＝5，

∴OH＝OE，

∴OG是等腰三角形底边EH上的中线，

∴OG是等腰三角形顶角的平分线，

∴∠EOG＝∠GOH，

∴∠EOG＝∠GOC＝∠AOF，

即∠AOF＝∠EOC；

（4）当Q在D的右侧（如图1），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QL⊥DK，于点L，

则△DPK≌△QDK，

设P的坐标是（a，0），则KP=DL=4-a，QL=DK=3，则Q的坐标是（4+3，4-3+a）即（7，-1+a），

把（7，-1+a）代入y=得：

7（-1+a）=12，

解得：a=，

则P的坐标是（，0）；

当Q在D的左侧（如图2），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，

则△QDL≌△PDK，

则DK=DL=3，设P的坐标是b，则PK=QL=4-b，则QR=4-b+3=7-b，OR=OK-DL=4-3=1，

则Q的坐标是（1，7-b），代入y=得：

b=-5，

则P的坐标是（-5，0）；

当Q在D的右侧（如图3），且∠DQP=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，

则△QDL≌△PQK，则DK=DL=3，

设Q的横坐标是c，则纵坐标是，

则QK=QL=，

又∵QL=c-4，

∴c-4=，

解得：c=-2（舍去）或6，

则PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-=1，

∴OP=OK-PK=6-1=5，

则P的坐标是（5，0）；

当Q在D的左侧（如图3），且∠DQP=90°时，不成立；

当∠DPQ=90°时，（如图4），作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，

则△DPR≌△PQK，

∴DR=PK=3，RP=QK，

设P的坐标是（d，0），

则RK=QK=d-4，

则OK=OP+PK=d+3，

则Q的坐标是（d+3，d-4），代入y=得：

（d+3）（d-4）=12，

解得：d=或（舍去），

则P的坐标是（，0），

综上所述，P的坐标是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0），