Question

【题目】阅读下列材料：

小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=120°,∠ABC=40°，试过△ABC的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.

他的做法是：如图2，首先保留最小角∠C，然后过三角形顶点A画直线交BC于点D. 将∠BAC分成两个角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成两个等腰三角形.

喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.

他的做法是：

如图3，先画△ADC ，使DA=DC，延长AD到点B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB =∠ABC，因为∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一个结论：

当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．

请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．

Answer 1

【答案】见解析。

【解析】

结论1：当三角形中的两个内角互余时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 结论2：当三角形中有一个角是另一个角的3倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.

解：如图1，

∠BAC=3∠C，作AD使∠CAD=∠C，
则∠BAD=∠BAC-∠CAD=2∠C，
又∠ADB=∠CAD+∠C=2∠C，
所以，△ACD与△ABD都是等腰三角形；
如图2，

∠A+∠B=90°，
则∠ACB=180°-90°=90°，
作CD，使∠ACD=∠A，
则∠BCD=90°-∠ACD=90°-∠A=∠B，
即∠BCD=∠B，
所以，△ACD与△BCD都是等腰三角形．