Question

（11·贵港）（本题满分12分）．
如图，已知直线y＝－x＋2与抛物线y＝a (x＋2) ²相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．

（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l²与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A的坐标是（0，2）………………1分
抛物线的解析式是y＝ (x＋1) ²………………3分
（2）如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，过点P作PD⊥x轴于点D…………4分
设P的坐标是(x，－x＋2)，则在Rt△PDM中，
PM²＝DM²＋PD²
即l²＝(－2－x)²＋(－x＋2)²＝x²＋2x＋8………………6分
自变量x的取值范围是：－5＜x＜0………………7分
（3）存在满足条件的点P………………8分
连接AM，由题意得，AM＝＝＝2………………9分
①当PM＝PA时，x²＋2x＋8＝x²＋(－x＋2－2)²
解得：x＝－4  此时 y＝－×(－4)＋2＝4
∴点P₁(－4，4) ………………10分
②当PM＝AM时，x²＋2x＋8＝(2)²
解得：x₁＝－    x₂＝0（舍去）  此时 y＝－×(－)＋2＝
∴点P₂(－，) ………………11分
③当PA＝AM时，x²＋(－x＋2－2)²＝(2)²
解得：x₁＝－    x₂＝（舍去）  
此时 y＝－×(－)＋2＝
∴点P₃(－，) ………………12分
综上所述，满足条件的点为P₁(－4，4)、P₂(－，)、P₃(－，)

解析