Question

如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．

Answer 1

分析：作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．

解答：解：作点A关于河CD的对称点A′，连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．
∵点A与点A′关于CD对称，
∴OA′=OA，A′C=AC=1，
∴OA+OB=OA′+OB=A′B．
过点A′作A′E⊥BE于E，则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4，
∴在Rt△A′BE中，A′B=

A′E2+BE2

=5（千米），
∴2000×5=10000（元）．
答：铺设管道的最省费用为10000元．

点评：要使铺设管道的费用最省，由于铺设管道每千米的费用一定，为2000元，即转化为求铺设管道的长度最短的值．运用轴对称的性质，将点A转化到点A′，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．