Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=8cm，AD=6cm， BC=10cm。点P从点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF从CD出发沿DA方向匀速运动，速度为1 cm/s，且EF与BD交于点Q，连接PE、PF。当点P与点Q相遇时，所有运动停止。若设运动时间为t（s）.
(1)求CD的长度
(2)当PE//AB时，求t的值；
(3)①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰好在EF中点时，则t的值为          （请直接写出答案）

Answer 1

（1）过点D作DM⊥BC，交BC于点M
∵AD//BC，∠A=90°
∴ DM=AB=8cm，BM=AD=6cm
∴CM="4cm,"
∴CD=cm
（2）由题意可求BD=10cm，BP=t,
∴DP="10-t"   DE=t
∵PE//CD
∴△DPE∽△DBA
∴  即
解得t=

（3）①过点B作BH⊥CD，交于点H，过点P作PG⊥EF，交于点G，
∵BD=BC=10cm，CD= cm
∴DH= cm
∴BH= cm
∵EF//CD     易证， EF=CD= ，DQ=DE=t，
∴QP=BD-BP-DQ=10-2t
可证 △QPG∽△DBH
∴  即   ∴PG=
S=
②  t= 

提示：如图过点P作MN//AB，则PM⊥AD，PN⊥BC
由题意可知∠EPF=90°
通过相似可得PM=  PN=
ME==  NF==


由可解得t₁=，t₂=(舍去)  （也可用相似法）

（1）过D作BC的垂线，设垂足为M，在Rt△CDM中，由勾股定理即可求得CD的长；
（2）当PE∥CD时，△DPE∽△DBA，可用t表示出DP、DE的长，进而由相似三角形得到的比例线段求得t的值；
（3）①易知BC=BD=10，则△DBC是等腰三角形，由于EF∥CD，易证DE=DQ=t，QP=10-t；利用△QPG∽△DBH求得PG的长，然后求△PEF面积表达式；
②利用相似求出MP、PN、ME、NF的长度，然后利用勾股定律求出t的值．