Question

【题目】如图，中，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，延长到，使，作，其中点在上．

（1）如图①，若，则_______．

（2）如图②，若，求的值；

（3）如图③，若，延长到点，使得，连接，在点运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段与的长度和取得最小值?

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)

【解析】

(1)连接AD，首先证明AC=CD，再证明△DCG∽△ACE，可得；

(2)连接AD．证明△DCG∽△ACE，可得，设AB=AC=5k，BD=CD=4k，则AD=，由此即可解决问题；
(3)由题意，当A，M，D共线时，AM+DM的值最小．想办法证明∠GDM=∠GDC=45°，设CH=，则PC=2，PH=DH=，推出AC=2CD=2()，由此即可解决问题．

(1)如图，连接AD，

∵AB=AC，∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD=BD=DC，
∴AC=CD，
∵∠CDE=∠CAE，∠DCG=∠ACE，
∴△DCG∽△ACE，
∴；
(2)如图，连接AD，

∵∠CDE=∠CAE，∠DCG=∠ACE，
∴△DCG∽△ACE，
∴，

∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
设AB=AC=5k，BD=CD=4k，

则AD=，

∴；
(3)如图，由题意知，当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小．

连EM，取AC的中点O，连接OE，OD，作PH⊥CD于H．
∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠CDA=90°，
∴AC=2CD，
∵∠CDE=∠CAE，∠DCG=∠ACE，
∴△DCG∽△ACE，
∴，
∴EC=2CG，
∵CM=2CG，
∴CM=CE，∠DCG=∠ACE，
∵∠ACD=∠DCG+∠GCP=∠ACE+∠GCP=∠ECM=60°，
∴△ECM是等边三角形，
∵CD=CO，∠DCM=∠OCE，CM=CE，
∴△DCM≌△OCE(SAS)，
∴OE=DM，
∵∠CDE=∠CAE，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠AEC=90°，
∵OA=OC，
∴OE=OC=CD=DM，
∵CG=GM，
∴∠GDM=∠GDC=45°，

设CH=，则PC=，PH=DH=，
∴AC=2CD=2()，
∴．