Question

17．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（　　）
①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG²=$\frac{1}{2}$AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．

• A． ①②③④
• B． ①②③
• C． ①③④
• D． ①②

Answer 1

分析 依据全等三角形的性质即可得到∠ADG=∠AFG；依据DG=GF=DE=EF，即可得到四边形DEFG为菱形；依据相似三角形的对应边成比例，即可得到DG²=$\frac{1}{2}$AE•EG；依据Rt△CEF中，CE²+CF²=EF²，即可得到方程x²+2²=（4-x）²，求得x的值即可得出结论．

解答 解：①由折叠可得，AD=AF，DG=FG，
在△ADG和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{DG=FG}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△AFG（SSS），
∴∠ADG=∠AFG，故①正确；
②∵GF∥DC，
∴∠EGF=∠DEG，
由翻折的性质可知：GD=GF，DE=EF，∠DGE=∠EGF，
∴∠DGE=∠DEG，
∴GD=DE，
∴DG=GF=DE=EF，
∴四边形DEFG为菱形，故②正确；
③如图所示，连接DF交AE于O，

∵四边形DEFG为菱形，
∴GE⊥DF，OG=OE=$\frac{1}{2}$GE，
∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，
∴△DOE∽△ADE，
∴$\frac{OE}{DE}$=$\frac{DE}{AE}$，即DE²=EO•AE，
∵EO=$\frac{1}{2}$GE，DE=DG，
∴DG²=$\frac{1}{2}$AE•EG，故③正确；
④由折叠可得，AF=AD=5，
∴Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=3，
∴CF=5-3=2，
设CE=x，则DE=EF=4-x，
∵Rt△CEF中，CE²+CF²=EF²，
∴x²+2²=（4-x）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{2}$，故④错误；
故选：B．

点评 本题属于折叠问题，主要考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到对应边成比例，依据勾股定理列出关于x的方程是解题答问题的关键．