Question

如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（3）如图③，若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”，其它条件不变，∠DAE的大小是否变化，并请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=35°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=15°．
（2）同（1），可得，∠ADE=75°，
∵FE⊥BC，
∴∠FEB=90°，
∴∠DFE=90°-∠ADE=15°．
（3）结论：∠DAE的度数大小不变．
证明：∵AE平分∠BEC，
∴∠AEB=∠AEC，
∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE，
∵∠CAE=∠CAD-∠DAE，∠BAE=∠BAD+∠DAE，
∴∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴2∠DAE=∠C-∠B=30°，
∴∠DAE=15°．
分析：（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE=15°即是最好的证明．
点评：本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，是一道好题．