Question

8．如图，在正方形ABCD中AB=AD，∠B=∠D=90°．
（1）如果BE+DF=EF，求证：①∠EAF=45°；②FA平分∠DFE；
（2）如果∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．

Answer 1

分析 （1）①延长EB至M，使BM=DF，则EM=EF，先由SAS证明△ABM≌△ADF，得出AM=AF，∠BAM=∠DAF，∠M=∠AFD，得出∠MAF=∠BAD=90°，再由SSS证明△AME≌△AFE，得出∠EAM=∠AEF，即可得出结论；
②由①得出∠M=∠AFD，∠M=∠AFE，得出∠AFE=∠AFD，即可得出结论；
（2）延长EB至M，使BM=DF，由SAS证明△ABM≌△ADF，得出AM=AF，∠BAM=∠DAF，证出∠EAM=45°=∠EAF，由SAS证明△AME≌△AFE，得出EM=EF，即可得出结论．

解答 （1）证明：①延长EB至M，使BM=DF，则EM=EF，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ABM=∠D=90°，
在△ABM和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABM=∠ADF}&{\;}\\{BM=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∠M=∠AFD，
∴∠MAF=∠BAD=90°，
在△AME和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}&{\;}\\{EM=EF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△AFE（SSS），
∴∠EAM=∠AEF，∠M=∠AFE，
∴∠EAF=45°；
②由①得：∠M=∠AFD，∠M=∠AFE，
∴∠AFE=∠AFD，
∴FA平分∠DFE；
（2）证明：延长EB至M，使BM=DF，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ABM=∠D=90°，
在△ABM和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABM=∠ADF}&{\;}\\{BM=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，
∴∠MAF=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAM=45°=∠EAF，
在△AME和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}&{\;}\\{∠EAM=∠EAF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴EM=EF，
即BE+BM=EF，
∴BE+DF=EF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．