Question

如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．
（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）
（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．

Answer 1

解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°．
又∵EF∥AC，
∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，
∴△BFE是等边三角形，PE=EB，
∴EF=BE=PE=BF；

（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；
∵E是BC的中点，
∴EC=BE，
∵PE=BE，
∴PE=EC，
∵∠C=60°，
∴△PEC是等边三角形，
∴PC=EC=PE，
∵EF=BE，
∴EF=PC，
又∵EF∥CP，
∴四边形EFPC是平行四边形，
∵EC=PC=EF，
∴平行四边形EFPC是菱形；

（3）如图所示：
当点E是BC的中点时，EC=1，则NE=ECcos30°=，
当0＜r＜时，有两个交点；
当r=时，有四个交点；
当＜r＜1时，有六个交点；
当r=1时，有三个交点；
当r＞1时，有0个交点．
分析：（1）由平行易得△BFE是等边三角形，那么各边是相等的；
（2）当点E是BC的中点时，△PEC为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC是平行四边形，再有EF=EC可证为菱形；
（3）根据各点到圆心的距离作答即可．
点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点．注意圆和线段有交点，应根据半径作答．