Question

（2013•南平）设点P是△ABC内任意一点．现给出如下结论：
①过点P至少存在一条直线将△ABC分成周长相等的两部分；
②过点P至少存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
③过点P至多存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；
④△ABC内存在点Q，过点Q有两条直线将其平分成面积相等的四个部分．
其中结论正确的是

①②④

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：对于结论①②，根据图形周长、面积的连续性变化，判定其为真命题；
对于结论③，举出反例判定其为假命题；
对于结论④，构造一个满足条件的点Q出来，判定其为真命题．

解答：解：结论①正确．理由如下：
如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的周长分别为C₁，C₂（C₁，C₂中不含线段DE）．

在直线l绕点P连续的旋转过程中，周长由C₁＜C₂（或C₁＞C₂）的情形，逐渐变为C₁＞C₂（或C₁＜C₂）的情形．在此过程中，一定存在C₁=C₂的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的周长．故结论①正确；
结论②正确．理由如下：
如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的面积分别为S₁，S₂．
在直线l绕点P连续的旋转过程中，面积由S₁＜S₂（或S₁＞S₂）的情形，逐渐变为S₁＞S₂（或S₁＜S₂）的情形．在此过程中，一定存在S₁=S₂的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的面积．故结论②正确；
结论③错误．理由如下：

如答图2所示，AD、BE、CF为三边的中线，则AD、BE、CF分别平分△ABC的面积，而三条中线交于重心G，则经过重心G至少有三条直线可以平分△ABC的面积．故结论③错误；
结论④正确．理由如下：
如答图3所示，AD为△ABC的中线，点M、N分别在边AB、AC上，MN∥BC，且

AM

AB

=

2

2

，MN与AD交于点Q．

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴

S△AMN

S△ABC

=(

AM

AB

)2=(

2

2

)2=

1

2

，即MN平分△ABC的面积．
又∵AD为中线，
∴过点Q的两条直线AD、MN将△ABC的面积四等分．
故结论④正确．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题真假的判断，难度很大．解题关键是正确理解题干各命题中的“至少”、“至多”、“存在”等字眼．需要注意的是，对于结论①②，我们只需要判定其存在性的真假即可，不需要严格作出几何图形来验证（结论①②的几何作图超出了新课标的范围，仅供学有余力的同学研究）．