Question

5．张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
（3）当墙的最大可利用长度为10米时，围成花圃的最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）根据（1）中的函数关系式，可以化为顶点式，从而可以解答本题；
（3）根据二次函数的性质可以解答本题．

解答 解：（1）由题意可得，
S=x（32-2x）=-2x²+32x，
∵$\left\{\begin{array}{l}{32-2x＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，
解得，0＜x＜16，
即S与x之间的函数关系式是S=-2x²+32x（0＜x＜16）；
（2）∵S=-2x²+32x=-2（x-8）²+128，
∴当x=8时，S有最大值，最大值是128平方米；
（3）∵S=-2（x-8）²+128，
由32-2x≤10得，x≥11，
∴11≤x≤16，
∴当x=11时，S取得最大值，此时S=-2（11-8）²+128=110，
即当墙的最大可利用长度为10米时，围成花圃的最大面积是110平方米

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．