Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：

（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；

（3）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；

（2）△DPQ为直角三角形；

（3）运动开始后第6﹣18秒时，以Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D．

【解析】试题分析：（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；（2）表示出DP2=，PQ2=，DQ2=117，进而得到PQ2+DQ2=DP2，得出答案；（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则有QP=QD，表示出QP2，QD2，列出等式，整理得到方程，求出方程的解，根据时间大于0秒小于6秒，即可解答．

试题解析：（1）设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2，

则：BP=6﹣t，BQ=2t，

所以×（6﹣t）×2t=8，即t2﹣6t+8=0，

可得：t=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．

（2）当t=秒时，

AP=，BP=6﹣=，BQ=×2=3，CQ=12﹣3=9，

∴在Rt△DAP中，，

在Rt△DCQ中，DQ2=DC2+CQ2=62+92=117，

在Rt△QBP中，，

∴，

∴DQ2+QP2=DP2，

∴△DPQ为直角三角形；

（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则：QP=QD，

∵OP2=PB2+BQ2=（6﹣x）2+（2x）2，

QD2=QC2+CD2=（12﹣2x）2+62，

∴（12﹣2x）2+62=（6﹣x）2+（2x）2，

整理，得：x2+36x﹣144=0，

解得：x=﹣18±6，

∵0＜6﹣18＜6，

∴运动开始后第6﹣18秒时，以Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D．