Question

16．如图，在梯形ABCD中．DC∥AB．对角线AC，BD交于O点，设S_△ODC=S₁，S_△AOB=S₂，求证：S_梯形ABCD=（$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$）²．

Answer 1

分析 如图，作CM∥DB交AB的延长线于M，首先证明S_△ACM=S_梯形ABCD，设△ACM的面积为S，由△DOC∽△BOA∽△MCA，推出$\sqrt{{S}_{2}}$：$\sqrt{S}$=OA：AC，$\sqrt{{S}_{1}}$：$\sqrt{S}$=OC：AC，推出$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$+$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{OA}{AC}$+$\frac{OC}{AC}$=1，即可解决问题．

解答 证明：如图，作CM∥DB交AB的延长线于M．

∵CD∥AM，DB∥CM，
∴四边形DBMC是平行四边形，
∴S_△DCA=S_△DCB=S_△BCM，
∴S_△ACM=S_梯形ABCD，设△ACM的面积为S，
∵△DOC∽△BOA∽△MCA，
∴$\sqrt{{S}_{2}}$：$\sqrt{S}$=OA：AC，$\sqrt{{S}_{1}}$：$\sqrt{S}$=OC：AC，
∴$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$+$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{OA}{AC}$+$\frac{OC}{AC}$=1，
∴$\sqrt{S}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$，
∴S_梯形ABCD=S=（$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$）²．

点评 本题考查梯形的面积、三角形的面积、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形，属于中考常考题型．