Question

【题目】如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；

（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

Answer 1

【答案】（1）B（0，2），抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）m的值为；

（3）当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5.0）或（，0）．

【解析】

（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点，可得到关于m的方程，可求得m的值．

（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值，从而得到点M的坐标．

（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，

∴0=﹣2+c，解得c=2，

∴B（0，2），

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，

∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，

∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），

∵P为线段MN的中点时，

∴有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，

解得m=3（三点重合，舍去）或m=．

故m的值为．

（3）由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，

∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，

∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），

∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，

∴N点的纵坐标为2，

∴﹣m2+m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，

∴M（2.5，0）；

当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，

则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m，

∵∠NBP=90°，

∴∠NBC+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠BNC，

∴Rt△NCB∽Rt△BOA，

∴，

∴=，解得m=0（舍去）或m=，

∴M（，0）；

综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5.0）或（，0）．