Question

【题目】如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.

（1）依据题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；

（2）若∠ACB=45°,点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB，将△CDE绕点D顺时针旋转度（0°<<360°）得, 点E的对应点为E’,点C的对应点为点C’.

(i)如图2，当时 ，连接BC’.证明：EF=BC’；

（ii）如图3，点M为DC中点，点P为线段C’E’上任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？（直接写出答案）.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) (i)见解析；（ii）1≤PM≤2+1.

【解析】

（1）根据题画图，易证AC是BD的垂直平分线，得到ED=EB=BD，即可证明△BDE为等边三角形；

（2）①易证∠EDB=∠FDC′=60°，∠EDF=BDC′，又DE=DB，DF=DC′于是△EDF≌△DBC′，得出结论；

②当E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共线时，PM有最小值．当点P与点E′重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值．

（1）补全图形，如图1所示；

证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD，

∴EB=ED，又∵ED=BD，

∴EB=ED=BD，∴△EBD是等边三角形；

（2）(i)证明：如图2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC

又∵点C与点F关于BD对称，∴四边形BCDF为正方形，

∴∠FDC=90°，CD=FD，

∵∠CDC′=α=30°，∴∠FDC′=60°，

由（1）△BDE为等边三角形，

∴∠EDB=∠FDC′=60°，ED=BD，

∴∠EDF=∠BDC′，

又∵△E′DC′是由△EDC旋转得到的，

∴C′D=CD=FD，

∴△EDF≌△DBC′（SAS），

∴EF=BC′；

（ii）线段PM的取值范围是：1≤PM≤2+1．设射线CA交BD于点O，

I：如图3（1）

当E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共线时，PM有最小值．

此时DP=DO=，DM=1，

∴PM=DP-DM=1，

II：如图3（2），

当点P与点E′重合，且P、D、M、C共线时，

PM有最大值．

此时DP=DE′=DE=DB=2，DM=1，

∴PM=DP+DM=2+1，

∴线段PM的取值范围是：1≤PM≤2+1.