Question

设α，β为方程x²-4x-m²+1=0的两个实数根，要使|α|+|β|≤5，则实数m的取值范围满足|m|≤

 

（用最简根式作答）．

Answer 1

分析：先根据方程有实根，得判别式≥0，再用根与系数的关系得出两根之和与两根之积，讨论m的取值范围即可．

解答：解：方程有实根，判别式≥0，
∴（-4）²-4（1-m²）≥0，∴m取全体实数，
由韦达定理，
得 α+β=4，αβ=1-m²，
∵|α|+|β|≤5，
∴（|α|+|β|）²=α²+β²+2|αβ|=（α+β）²+2|αβ|-2αβ=16+2|1-m²|-2（1-m²）≤25，
当m＜-1时，不等式变为m²≤

13

4

，解得-

13

2

≤m＜-1；
当-1≤m≤1时，不等式变为16≤25，满足．
当m＞1时，不等式变为m²≤

13

4

，解得1＜m≤

13

2

；
综上，得|m|≤

13

2

．
故答案为

13

2

．

点评：本题考查了一元二次方程根的分布情况，两根之和与两根之积，讨论m的取值范围是解此题关键．