Question

14．如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y=$\frac{k}{x}$（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S_△OEF=2S_△BEF，则k值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（$\frac{m}{2}$，2），根据三角形面积公式得到S_△BEF=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{m}{2}$）（2-m），根据反比例函数k的几何意义得到S_△OFC=S_△OAE=$\frac{1}{2}$m，由于S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△OEA-S_△BEF，列方程即可得到结论．

解答 解：∵四边形OABC是矩形，BA⊥OA，A（1，0），
∴设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（$\frac{m}{2}$，2），
则S_△BEF=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{m}{2}$）（2-m），S_△OFC=S_△OAE=$\frac{1}{2}$m，
∴S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△OCF-S_△OEA-S_△BEF=2-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{m}{2}$）（2-m），
∵S_△OEF=2S_△BEF，
∴2-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{m}{2}$）（2-m）=2•$\frac{1}{2}$（1-$\frac{m}{2}$）（2-m），
整理得$\frac{3}{4}$（m-2）²+m-2=0，解得m₁=2（舍去），m₂=$\frac{2}{3}$，
∴E点坐标为（1，$\frac{2}{3}$）；
∴k=$\frac{2}{3}$，
故选A．

点评 本题考查了反比例函数k的几何意义和矩形的性质；会利用面积的和差计算不规则图形的面积．