Question

6．定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…
（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n-1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．
（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．

Answer 1

分析 （1）根据祖冲之数组的定义，即可解决问题．
（2）首先判断出a是5，9，11的倍数，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵n•n（n-1）÷[n+n（n-1）]=n²（n-1）÷n²=n-1，
∴n和n（n-1）（n≥2，n为整数）组成的数组是祖冲之数组．

（2）∵$\frac{4a•5a}{9a}$=$\frac{20a}{9}$，$\frac{5a•6a}{11a}$=$\frac{30a}{11}$，$\frac{4a•6a}{10a}$=$\frac{12a}{5}$都是整数，
∴a是5，9，11的倍数，
∴满足条件的所有三位正整数a为495或990．

点评 本题考查因式分解的应用，整数等知识，解题的关键是理解题意，题目比较抽象，有一定难度．