Question

10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，∠ADC的平分线交AB、AC于E、F两点，连接CE．
（1）求证：AE=BE；
（2）若DA=24cm，EF=5cm，P是直线DE上的一动点，当点P运动到何处时，PB+PC最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形“三合一”的性质证得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE=CE，根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得∠BCE=∠B；最后根据等角对等边证得CE=BE，所以AE=CE=BE；
（2）由已知数据可求出AB的长，再由（1）知，DE垂直平分AC，故PC=PA；由等量代换知PB+PC=PB+PA；根据两点之间线段最短可知，当点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小，即AB的长．

解答 解：（1）证明：在等边三角形ADC中，
∵DF⊥AC，
∴DF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠CAE（等边对等角）；
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴CE=BE（等角对等边），
∴AE=BE；

（2）∵DA=24cm，△ADC是等边三角形，
∴AC=DA=24cm，
∵AF=CF，AE=BE，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2EF=10cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=26cm，
由（1）知，DE垂直平分AC，
∴PC=PA，
∴PB+PC=PB+PA；
∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．
当点P在E处时，PB+PC=EB+EC=EB+EA=AB=26cm．

点评 本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的运用．解答（2）题时，主要利用“两点之间线段最短”来确定点P的位置．