Question

阅读下面的问题及解答．
已知：如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，则∠BOC=90°+

1

2

∠A=

1

2

×180°+

1

2

∠A；
如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于O₁、O₂，则∠BO₁C=

2

3

×180°+

1

3

∠A，∠BO₂C=

1

3

×180°+

2

3

∠A，
根据以上信息，回答下列问题：

（1）你能猜想出它的规律吗？（n等分时，内部有n-1个点）．∠BO₁C=

 

（用n的代数式表示），
∠BO_n-1C=

 

（图③）．
（2）根据你的猜想，取n=4时，证明∠BO₃C的度数成立．

Answer 1

分析：（1）根据已知中的特例，观察两部分前边的倍数和n等分线间的关系，从而写出结论；
（2）根据三角形的内角和定理和四等分角进行证明．

解答：解：（1）∠BO₁C=

n-1

n

×180°+

1

n

∠A，
∠BO_n-1C=

1

n

×180°+

n-1

n

∠A．

（2）当n=4时，∠BO₃C=

1

4

×180°+

3

4

∠A．
证明：等式左边=∠BO₃C=180°-（∠O₃BC+∠O₃CB）=180°-

3

4

（∠B+∠C）
=180°-

3

4

（180°-∠A）=

1

4

×180°+

3

4

∠A=等式右边．
∴当n=4时，∠BO₃C=

1

4

×180°+

3

4

∠A．

点评：此题综合运用了三角形的内角和定理和n等分角的概念．