Question

如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B=30°，问：AB与AP是否相等？请说明理由；
（2）求证：PD•PO=PC•PB；
（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的长．

Answer 1

（1）解：相等．理由如下：
连接AO，
∵PA是半圆的切线，
∴∠OAP=90°
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠AOP=2∠B=60°，
∴∠APO=30°，
∴∠B=∠APO，
∴AB=AP．

（2）证明：在Rt△OAP中，
∵AD⊥OP，
∴PA²=PD•PO
∵PA是半圆的切线，
∴PA²=PC•PB，
∴PD•PO=PC•PB．

（3）解：∵BD：DC=4：1，且BC=10，
∴BD=8，CD=2，
∴OD=3
∵OA²=OD•OP，
∴25=3×OP，
∴OP=，
∴PC=．
分析：（1）可根据度数来求，连接OA，根据切线的性质可得出OA⊥AP，根据圆周角定理可得出∠AOC=60°，因此∠P=∠BC=30°，由此得证．
（2）我们先看给出的比例关系，PC•PB恰好可以用切割线定理得出他们与PA²相等，那么我们再看PA2和PD•PO的关系，在直角三角形PAO中，根据三角形PAD和PAO相似，我们可得出PA²=PD•PO，那么就得出本题的结论．
（3）根据BD、DC的比例关系和BC的长，我们可得出BD和DC的长，也就求出了OD的长，要求出CP的长就要知道PB或PO的长，我们可参照（2）中的方法，用三角形OAD和OAP相似得出OA²=OD•OP从而求出PO的长，也就可以得出CP的长了．
点评：本题主要考查了切线的性质，切割线定理以及相似三角形的判定和性质等知识点，根据相似三角形得出线段间的比例关系是解题的关键．