Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A（2，4），顶点的横坐标为

1

2

，它的图象与x轴交于两点B（x₁，0）、C（x₂，0），与y轴交于点D，且x₁²+x₂²=13．试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过P、B两点直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：需注意的是，由于本题没有明确B、C的位置关系，所以要分类讨论；由于B、C是抛物线与x轴的交点；根据韦达定理即可求出两个横坐标的和与积，进而可根据x₁²+x₂²=13求出第一个关于抛物线系数的等量关系式；将A点坐标代入抛物线的解析式中，可得到第二个关于抛物线系数的等量关系式；再联立抛物线的对称轴方程，即可求出待定系数的值，由此可确定抛物线的解析式，进而可求出抛物线与坐标轴的交点坐标；假设抛物线上存在符合条件的P点，使得△POB与△DOC相似，由于这两个三角形中，∠POB=∠DOC=90°，所以要考虑到两种情况：①△POB∽△DOC，②△POB∽△COD；根据不同的相似三角形所得到的不同比例线段，可求出P点的坐标，进而可用待定系数法求出直线BP的解析式．

解答：解：∵y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点B（x₁，0），C（x₂，0），
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

；
又∵x₁²+x₂²=13，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=13，
∴（-

b

a

）²-2•

c

a

=13，①
4a+2b+c=4，②
-

b

2a

=

1

2

．③
解由①、②、③组成的方程组，
得a=-1，b=1，c=6；
∴y=-x²+x+6；（2分）
与x轴交点坐标为（-2，0），（3，0），（3分）
与y轴交点D坐标为（0，6）；（4分）
设y轴上存在点P，使得△POB∽△DOC，则
（1）当B（-2，0），C（3，0），D（0，6）时，
有

OB

OC

=

OP

OD

，OB=2，OC=3，OD=6；
∴OP=4；即点P坐标为（0，4）或（0，-4）；
当P坐标为（0，4）时，可设过P、B两点直线的解析式为y=kx+4，
有0=2k+4，得k=2；
∴y=2x+4；（4.5分）
当P点坐标为（0，-4）时，可设过P、B两点直线的解析式为y=kx-4；
有0=-2k-4，
得k=-2；
∴y=-2x-4（5分）
或

OB

OD

=

OP

OC

，OB=2，OD=6，OC=3
∴OP=1，这时P点坐标为（0，1）或（0，-1）；
当P点坐标为（0，1）时，可设过P、B两点直线的解析式为y=kx+1；
有0=-2k+1，
得k=

1

2

．
∴y=

1

2

x+1（5.5分）
当P点坐标为（0，-1）时，可设过P、B两点直线的解析式为y=kx-1；
有0=-2k-1，
得k=-

1

2

；（6分）
∴y=-

1

2

x-1；
（2）当B（3，0），C（-2，0），D（0，6）时，同理可得
y=-3x+9（6.5分）
或y=3x-9（7分）
或y=-

1

3

x+1（7.5）
或y=

1

3

x-1．（8分）

点评：此题主要考查了根与系数的关系、一次函数与二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等重要知识点，要注意的是在遇到相似三角形的对应边和对应角不明确的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．