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如图1,已知抛物线经过坐标原点Ox轴上另一点E,顶点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,ADAB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.

(1)求该抛物线所对应的函数关系式;

(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).

① 当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;

② 设以PNCD为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

 


(1)因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4),

故可设其关系式为 

又抛物线经过O(0,0),于是得, 

解得 a=-1                                     

∴ 所求函数关系式为,即.

(2)① 点P不在直线ME上.                         

根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0),

M的坐标为(2,4),设直线ME的关系式为y=kx+b.

于是得  ,解得

所以直线ME的关系式为y=-2x+8.

由已知条件易得,当t时,OA=AP

P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.        

∴ 当t时,点P不在直线ME上.

S存在最大值. 理由如下:)

∵ 点Ax轴的非负半轴上,且N在抛物线上, ∴ OA=AP=t.

∴ 点PN的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t)       ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,

AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 ,     ∴ PN=-t 2+3

()当PN=0,即t=0或t=3时,以点PNCD为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴ S=DC?AD=×3×2=3.

()当PN≠0时,以点PNCD为顶点的多边形是四边形

PNCDADCD

S=(CD+PN)?AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3=

其中(0<t<3),由a=-1,0<<3,此时.

综上所述,当t时,以点PNCD为顶点的多边形面积有最大值,

这个最大值为.

说明:()中的关系式,当t=0和t=3时也适合.

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